Crow (1984)1 引入了积分图像作为一种提高透视投影中多像素纹理渲染速度的技术。从那时起，该技术已被用于许多应用。最流行的例子是快速归一化互相关[^2]、Viola-Jones object detection framework2 和 Speeded Up Robust Feature (SURF)转换3。在斐济，我们目前将积分图像用于许多基本统计块过滤器。
带有积分图片的基本块统计（求和面积表）
的意思是
一组离散随机变量 \(X=\{x_1,\dots,x_n\}\) 的均值 \(\mu(X)\) 定义为
\[\mu=\sum_{i=1}^np_ix_i\]令 \(X\) 为拟合块中的像素值集合，其中所有像素值具有相同概率 \(p_i=\frac{1}{n}\)，则
\[\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\]总和可以通过 \(I(\vec{x})\) 上的积分生成。对于二维图像，可以在单个循环中生成该表，平均每个像素需要 3 个用于计算，5 个用于数据访问。使用该表，可以在持续时间内生成任意像素块的托盘，并使用 1 个乘积和 3 个进行计算，使用 2 个乘积和 6 个进行数据访问。
借款
一组离散随机变量 \(X=\{x_1,\dots,x_n\}\) 的角度 \(\text{Var}(X)\) 定义为
\[\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^np_i(x_i-\mu)^2 \quad\text{与}\quad \mu=\sum_{i=1}^np_ix_i\]令 \(X\) 为拟合块中的像素值集合，其中所有像素值具有相同概率 \(p_i=\frac{1}{n}\)，则
\[\text{Var}(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \quad\text{和}\quad \mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\]海峡
\[\text{Var}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2\right)\] \[= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n2x_i\mu + \mu^2\] \[= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n2x_i\mu + \frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\] \[= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{2\mu}{n}\sum_{i=1}^nx_i + \frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\] \[= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{2}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2 + \frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\] \[= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\] \[= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\] \[= \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)\]总和可以分别通过 \(I(\vec{x})\) 和 \(I(\vec{x})^2\) 上的两个积分图像生成。对于二维图像，两个表都在单个循环中生成，平均可以有 1 个乘积和 6 个和用于计算，以及 5 个和用于每个像素的数据访问。使用这些，可以在初始化中断生成各个像素块的互连，并使用 3 个乘积和 9个并进行计算，并使用 2 个乘积和 6 个进行数据访问。
与积分图片的块匹配
我们可能会处理这样的情况：两个重叠区域图像 \(X\) 和 \(Y\) 中的强度可能在平衡和恢复方面有所不同。然后，一个简单的估计器，例如均方姿态 (MSE) 不能构成相似性测量，因为对于它的线性变换不是不变的。相反，对线性估计进行适当的测量就可以达到目的。 皮尔逊积分矩相关系数 (PMCC) \(\rho_{X,Y}\)是线性相关性的适当注意事项
\[\rho_{XY} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}\]其中，\(X\) 和 \(\) 是具有\(n\)~元素的有限样本，每个元素给出相关系数 \(r\_{XY}\)
\[r_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)(y_i-\mu_Y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}}\quad\text{与}\quad\mu_X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\]可以转换产生一组独立的和。对于分子来说，即
\[\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)(y_i-\mu_Y) = \sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^nx_i\mu_Y-\sum_{i=1}^ny_i\mu_X+\sum_{i=1}^n\mu_X\mu_Y\] \[= \sum_{i=1}^nx_iy_i-\mu_Y\sum_{i=1}^nx_i-\mu_X\sum_{i=1}^ny_i+n\mu_X\mu_Y\] \[= \sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i\]对于分母，先乘以 \(\frac{n}{n}\) 很方便
\[r_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}}\] \[= \frac{n\sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i}{n\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}}\] \[= \frac{n\sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i}{\sqrt{n\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}\sqrt{n\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}}\]因为
\[n\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2 = n\sum_{i=1}^n(x_i^2-2x_i\mu_X+\mu_X^2)\] \[= n\sum_{i=1}^nx_i^2 - 2n\mu_X\sum_{i=1}^nx_i + \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\] \[= n\sum_{i=1}^nx_i^2 - 2\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2 + \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\] \[= n\sum_{i=1}^nx_i^2 - \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\]屈服
\[r_{XY} = \frac{n\sum_{i=1}^nx_iy_i - \sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^ny_i}{\sqrt{n\sum_{i=1}^nx_i^2 - \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}\sqrt{n\sum_{i=1}^ny_i^2 - \left(\sum_{i=1}^ny_i\right)^2}}\]这意味着我们可以在固定时间从五个求和区域表中的两个图像的固定偏移处计算每个的 \(r_{XY}\) 。在某些情况下（例如找到极值），估计 \(r_{XY}^2\) 和 \(r_{XY}\) 的符号就足够了。那么就可以避免两个平方根的计算
\[r_{XY}^2 = \frac{a^2}{\left(n\sum_{i=1}^nx_i^2 - \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)\left(n\sum_{i=1}^ny_i^2 - \left(\sum_{i=1}^ny_i\right)^2\right)}\]与
\[a = n\sum_{i=1}^nx_iy_i - \sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^ny_i\quad\text{和}\quad{} sgn(r_{XY}) = sgn(a)\]参考文献
[^2]：刘易斯，J.P. (1995)。“快速模板匹配”。视觉接口 95：120–123，加拿大图像处理和模式识别协会。
